Как складывать, делить и сокращать дроби: примеры
Общий знаменатель, приём с перевёрнутой дробью при делении и сокращение до несократимого вида — с примерами, которые легко проверить.
Дроби — тема, которую учат в десять лет, забывают к двадцати, а потом встречают в рецепте. Половина от 3/4 стакана муки. Болт на 5/8 дюйма рядом с ключом на 11/16. Доска, которая должна быть в 2 1/3 раза длиннее обрезка. Правила простые, но их четыре, и в голове они держаться отказываются.
Вот весь набор с примерами. А если считать вручную не хочется, Калькулятор дробей делает всё это прямо по мере ввода — включая смешанные числа и десятичные дроби.
Сложение и вычитание: нужен общий знаменатель
Складывать можно только дроби, нарезанные на одинаковые куски. Запись 1/2 + 1/4 не имеет смысла, пока 1/2 не переписана как 2/4. Дальше просто: 2/4 + 1/4 = 3/4.
Механический рецепт такой: числитель каждой дроби умножаем на знаменатель другой, результаты складываем и записываем над произведением знаменателей.
- 2/3 + 1/5 → (2×5 + 1×3) / (3×5) = 13/15
- 5/6 − 1/4 → (5×4 − 1×6) / (6×4) = 14/24, что сокращается до 7/12
Последний шаг важен: рецепт часто выдаёт раздутую дробь, так что сокращение почти всегда впереди.
Умножение — самое лёгкое
Умножаем напрямую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Общий знаменатель не нужен. Целое число считается дробью со знаменателем 1: 4 × 2/3 = 8/3.
Деление: переверните вторую дробь
На делении спотыкаются чаще всего. Весь секрет в том, что деление на дробь — это умножение на обратную к ней: вторую дробь переворачиваем и умножаем.
1/2 ÷ 3/4 превращается в 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3.
Почему это работает? Вопрос «сколько раз 3/4 помещается в 1/2» и есть смысл деления. Меньше одного раза, очевидно — и ровно 2/3 порции размером 3/4 дают 1/2. Переворот — не фокус, а само определение деления.
Одно правило обойти нельзя: на ноль делить нельзя. Если вторая дробь равна нулю, ответа не существует, и честный калькулятор скажет об этом вместо того, чтобы его выдумывать.
Сокращение до несократимого вида
Дробь несократима, когда у числителя и знаменателя нет общих делителей. Чтобы к этому прийти, оба числа делят на их наибольший общий делитель (НОД).
Возьмём 84/126. Оба делятся на 2 → 42/63. Оба делятся на 21 → 2/3. Два шага, но разглядеть это «21» на глаз — дело тренировки. Через НОД получается за один: НОД(84, 126) = 42, и 84÷42 над 126÷42 сразу даёт 2/3.
Учителя требуют несократимый вид не из вредности: 2/3 и 42/63 — одно и то же число, но только первое мгновенно сравнивается с 3/4.
Смешанные числа и десятичные дроби
Смешанное число 2 1/3 — это просто короткая запись для 7/3: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель. Перед любой арифметикой переводите в неправильную дробь, а в конце, если нужно, обратно.
С десятичными наоборот: 0,75 — это 75/100, что сокращается до 3/4. Конечные десятичные дроби переводятся точно. Периодические — нет: 1/3 — это 0,333333 до бесконечности, поэтому любая записанная десятичная форма будет приближением.
Проверьте пару своих примеров в Калькуляторе дробей — он принимает дроби, смешанные числа, целые и десятичные (через точку: 0.75), сокращает каждый ответ и рядом показывает десятичное значение.